Leo Yeh's Blog

SAS 優化研究 (9)

教學目標

初步了解資料包絡分析法之優化模型程式碼應用的基本概念。

重點概念

首先這麼多年以來經濟學家研究了企業產生的產出之間的關係,將能夠用於生產資源的分析,其中將會不斷應用數學回答兩個重要的問題,分別為最佳的營運方法是什麼?以及我們目前的商業模式是最佳的嗎?若能夠回答這兩個問題將能夠幫助企業中的組織提高績效以保持競爭力。然而大多數問題或過程涉及大量的輸入或決策,需要針對多種考慮或目標來產生最有效率的解決方案。此外在企業中通常會期望以最小的投入資源獲得最大之產出價值,而若不能達到領先之地位也會期望能夠知道自己必須在哪些方面做何種努力,才能達到與領先者相同之水準,因此績效評估往往是企業經營決策最重要的關鍵因素,此時使用資料包絡分析法 (Data Envelopment Analysis,DEA) 所提供的分析結果將會被訂定為決策目標的基礎。

接著我們將能夠使用實際達到的結果與可能的結果之間的簡單比率來定義效率的最大值,並且擴展效率概念主要以比較多個流程或方法來完成一個任務,我們主要關注的是相對效率或生產效率,而當比較企業中不同組織單位的效率時,通常將這些單位稱為決策單位 (Decision-making Units,DMU),我們將能夠從兩大方面衡量生產效率,分別為輸出為導向的方法和輸入為導向的方法,輸出為導向的方法主要用於使用給定的輸入組合產出最大化,輸入為導向的方法主要用於投入最小化以產生給定的輸出組合。此外資料包絡分析主要是一種線性優化模型主要用於建立類似的決策單位的效率模型,其主要是非參數的線性優化模型,所以不需要特定的函數來評估類似的決策單位,並且這些決策單位使用多個輸入來產生多個輸出。

再來我們透過一個簡單的輸入導向範例來說明該資料包絡的方法,其中有四個決策單位,每個決策單位皆使用兩個輸入,分別為職員和經理,主要產生兩個輸出,分別為品質和數量,請參考下表。至於決策單位名稱分別為 DMU A 、 DMU B 、 DMU C 和 DMU D。我們將能夠使用 PROC OPTMODEL 求解最佳的 lambda,更進一步最大程度地減少資源使用,以及針對決策單位 DMU A 進行評估。

DMU A DMU B DMU C DMU D
Staff 375 300 436 310
Manager 4 2 5 4
Quality 275 300 436 280
Quantity 1060 975 1070 1009

優化模型程式碼 (線性)

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proc optmodel;
var DMU_A >=0, DMU_B >=0, DMU_C >=0, DMU_D >=0;
var H;
min Resources=H;
con Staff_IP: DMU_A*375 + DMU_B*300 + DMU_C*436 + DMU_D*310 <= 375*H;
con Manager_IP: DMU_A*4 + DMU_B*2 + DMU_C*5 + DMU_D*4 <= 4*H;
con Quality_OP: DMU_A*275 + DMU_B*300 + DMU_C*436 + DMU_D*280 >= 275;
con Quantity_OP: DMU_A*1060 + DMU_B*975 + DMU_C*1070 + DMU_D*1009 >= 1060;
solve;

print DMU_A DMU_B DMU_C DMU_D;
quit;

問題摘要

項目
目標原理 最小化
目標函數 Resources
目標類型 線性
變數數目 5
有上限 0
有下限 4
有下限和上限 0
可用 1
固定 0
限制數目 4
線性 LE (<=) 2
線性 EQ (=) 0
線性 GE (>=) 2
線性範圍 0
限制係數 18

解法摘要

項目
求解器 LP
演算法 對偶單形
目標函數 Resources
解決方案狀態 最佳
目標值 0.8689138577
原始不可解性 8.881784E-16
對偶不可解性 1.110223E-16
界限不可解性 0
反覆運算 7
預解時間 0.01
解決時間 0.02

優化模型結果

DMU_A DMU_B DMU_C DMU_D
0 0.38951 0 0.67416

優化模型日誌

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NOTE: 問題產生將使用 4 個執行緒。
NOTE: 問題有 5 個變數 (1 個無限制, 0 個固定)。
NOTE: 問題有 4 個線性限制 (2 個 LE、0 個 EQ、2 個 GE、0 個範圍)。
NOTE: 問題有 18 個線性限制係數。
NOTE: 問題有 0 個非線性限制 (0 個 LE、0 個 EQ、0 個 GE、0 個範圍)。
NOTE: 已停用線性問題的 OPTMODEL 預解器。
NOTE: 已套用 LP 預解器值 AUTOMATIC。
NOTE: LP 預解器時間為 0.01 秒。
NOTE: LP 預解器已移除 0 個變數及 0 個限制。
NOTE: LP 預解器已移除 0 個限制係數。
NOTE: 預解的問題有 5 個變數、4 個限制和 18 個限制係數。
NOTE: 已呼叫 LP 求解器。
NOTE: 使用對偶單形演算法。
目標
階段反覆運算 值 時間
D 2 1 -2.000000E-01 0
P 2 7 8.689139E-01 0
NOTE: Optimal.
NOTE: Objective = 0.8689138577.
NOTE: 對偶單形求解時間為 0.01 秒。
NOTE: PROCEDURE OPTMODEL used (Total process time):
real time 0.18 seconds
cpu time 0.12 seconds

最後當我們執行優化模型程式碼之後將會輸出以上的結果,從結果中我們將能夠了解決策單位 DMU A 的效率為 86.89%,這代表著在這四個決策單位中 DMU A 相對沒有效率,此外如果我們分別評估其它三個決策單位將會發現效率皆為 100%。至於決策單位 DMU A 主要安排 375 位員工和 4 位經理,但是品質和數量的標準卻沒有達到效率,此時我們如果假設決策單位 DMU A 品質和數量不變,則就需要減少員工數,但要減少多少員工數呢?此時我們就能夠將員工數乘上目前的效率,也就是 375 × 0.8689138577 = 325.8426966375,此時不是四捨五入為 326 位員工,而是 325 位員工,若我們安排 326 位員工,則決策單位 DMU A 的效率為 99.91%,但是若我們安排 325 位員工,則決策單位 DMU A 的效率為 100%。

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